Применение законов сохранения энергии и импульса в механических явлениях. Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса - Лекция 3 закона сохранения импульса и энергии

Решение многих практических задач значительно упрощается, если воспользоваться законами сохранения — законом сохранения импульса и законом сохранения и превращения энергии, ведь эти законы можно использовать и тогда, когда силы, действующие в системе, неизвестны. Итак, вспомним виды механической энергии и решим несколько задач на применение законов сохранения.

Вспоминаем о механической энергии

Энергия (от греч. «деятельность») — это физическая величина, которая является общей мерой движения и взаимодействия всех видов материи.

Энергию обозначают символом E (или W). Единица энергии в СИ — джоуль:

В механике мы имеем дело с механической энергией.

механическая энергия — это физическая величина, которая является мерой движения и взаимодействия тел и характеризует способность тел выполнять механическую работу.

Виды механической энергии

Сумма кинетической и потенциальной энергий тела (системы тел) — это полная механическая энергия тела (системы тел): E = E k + E p

Изучая механическую энергию в курсе физики 7 класса, вы узнали о том, что, когда система тел замкнута, а тела системы взаимодействуют друг с другом только силами упругости и силами тяготения, полная механическая энергия системы не изменяется.

В этом состоит закон сохранения и превращения механической энергии, который математически можно записать так:

где E k0 + E p0 — полная механическая энергия системы тел в начале наблюдения; E k + E p — полная механическая энергия системы тел в конце наблюдения.

Вспоминаем алгоритм решения задач на закон сохранения механической энергии

Алгоритм решения задач с применением закона сохранения механической энергии

1. Прочитайте условие задачи. Определите, является ли система замкнутой, можно ли пренебречь действием сил сопротивления. Запишите краткое условие задачи.

2. Выполните пояснительный рисунок, на котором укажите нулевой уровень, начальное и конечное состояния тела (системы тел).

3. Запишите закон сохранения и превращения механической энергии. Конкретизируйте эту запись, используя данные задачи и соответствующие формулы для расчета энергии.

4. Решите полученное уравнение относительно неизвестной величины. Проверьте ее единицу и найдите числовое значение.

5. Проанализируйте результат, запишите ответ.

Закон сохранения механической энергии значительно упрощает решение многих практических задач. Рассмотрим алгоритм решения таких задач на конкретном примере.

Задача 1. Участник аттракциона по бан-джи-джампингу прыгает с моста (см. рисунок).

Какова жесткость резинового каната, к которому привязан спортсмен, если во время падения шнур растянулся от 40 до 100 м? Масса спортсмена 72 кг, начальная скорость его движения равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывайте.

Анализ физической проблемы. Сопротивление воздуха не учитываем, поэтому систему тел «Земля — человек — шнур» можно считать замкнутой и для решения задачи воспользоваться законом сохранения механической энергии: в начале прыжка спортсмен имеет потенциальную энергию поднятого тела, в самой низкой точке эта энергия преобразуется в потенциальную энергию деформированного шнура.

Поиск математической модели, решение Выполним рисунок, на котором укажем начальное и конечное положения спортсмена. За нулевой уроень выберем самое низкое положение спортсмена (шнур растянут максимально, скорость движения спортсмена равна нулю). Запишем закон сохранения механической энергии.

Применяем закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса одновременно

Играли ли вы в бильярд? Один из видов столкновения бильярдных шаров — упругий центральный удар — столкновение, при котором потери механической энергии отсутствуют, а скорости движения шаров до и после удара направлены вдоль прямой, проходящей через центры шаров.

Задача 2. Шар, двигавшийся по бильярдному столу со скоростью 5 м/с, сталкивается с неподвижным шаром такой же массы (см. рисунок). Определите скорости шаров после столкновения. Удар считайте упругим центральным.

Анализ физической проблемы. Систему двух шаров можно считать замкнутой, удар упругий центральный, значит, потери механической энергии отсутствуют. Следовательно, для решения задачи можно использовать и закон сохранения механической энергии, и закон сохранения импульса. За нулевой уровень выберем поверхность стола. Поскольку потенциальные энергии шаров до и после удара равны нулю, полная механическая энергия системы равна сумме кинетических энергий шаров.

Запишем для системы двух шаров закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии, учитывая, что v 02 = 0:

Поиск математической модели, решение.Выполним рисунок, на котором укажем положение шаров до и после удара.

Анализ результатов. Видим, что шары «обменялись» скоростями: шар 1 остановился, а шар 2 приобрел скорость шара 1 до столкновения. Заметим: при упругом центральном ударе двух тел одинаковой массы эти тела «обмениваются» скоростяминезависимо от того, какими были начальные скорости движения тел.

Применяем закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса поочередно

Если вам интересно, с какой скоростью вылетает стрела из лука или какова скорость движения пули пневматической винтовки, может помочь баллистический маятник— тяжелое тело, подвешенное на металлических стержнях. Узнаем, как с помощью этого устройства определить скорость движения пули.

Задача 3. Пуля массой 0,5 г попадает в подвешенный на стержнях деревянный брусок массой 300 г и застревает в нем. Определите, с какой скоростью двигалась пуля, если после попадания пули брусок поднялся на высоту 1,25 см (см. рисунок).

Анализ физической проблемы. При попадании пули в брусок последний приобретает скорость. Время проникновения пули в брусок мало, поэтому в это время систему «пуля — брусок» можно считать замкнутой и воспользоваться законом сохранения импульса. А вот законом сохранения механической энергии воспользоваться нельзя, так как присутствует сила трения.

Когда пуля остановила свое движение внутри бруска и он начал отклоняться, то действием силы сопротивления воздуха можно пренебречь и воспользоваться законом сохранения механической энергии для системы «Земля — брусок». А вот импульс бруска будет уменьшаться, поскольку часть импульса передается Земле.

Поиск математической модели, решение Запишем закон сохранения импульса для положений 1 и 2 (см. рисунок), приняв во внимание, что в положении 1 брусок находится в покое, а в положении 2 брусок и пуля движутся вместе:

Запишем закон сохранения механической энергии для положений 2 и 3 и конкретизируем его:

Подставив выражение для скорости (2) в формулу (1), получим формулу для определения скорости движения тела с помощью баллистического маятника:

Проверим единицу, найдем значение искомой величины:

Вместо итогов

Мы рассмотрели лишь несколько примеров решения задач. На первый взгляд кажется, что и импульс, и механическая энергия сохраняются не всегда. Что касается импульса — это не так. Закон сохранения импульса — это всеобщий закон Вселенной. А якобы «появление» импульса

(см. задачу 1 в § 38) и его «исчезновение» (см. задачу 3 в § 38, положения тел 2 и 3) объясняются тем, что Земля тоже получает импульс. Именно поэтому, решая задачи, мы «ищем» замкнутую систему.

Механическая энергия действительно сохраняется не всегда: система может получить дополнительную механическую энергию, если внешние силы выполнят положительную работу (например, вы бросили мяч); система может потерять часть механической энергии, если внешние силы выполнят отрицательную работу (например, велосипед остановился из-за действия силы трения). Однако полная энергия (сумма энергий тел системы и частиц, из которых эти тела состоят) всегда остается неизменной. Закон сохранения энергии — это всеобщий закон Вселенной.

Упражнение № 38

Выполняя задания 2-4, сопротивлением воздуха следует пренебречь.

1. Груз массой 40 кг сбросили с самолета. После того как на высоте 400 м скорость движения груза достигла 20 м/с, он начал двигаться равномерно. Определите: 1) полную механическую энергию груза на высоте 400 м; 2) полную механическую энергию груза в момент приземления; 3) энергию, в которую преобразовалась часть механической энергии груза.

2. Шарик бросили горизонтально с высоты 4 м со скоростью 8 м/с. Определите скорость движения шарика в момент падения. Решите задачу двумя способами: 1) рассмотрев движение шарика как движение тела, брошенного горизонтально; 2) воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Какой способ в данном случае удобнее?

3. Пластилиновый шарик 1 массой 20 г и втрое больший по массе шарик 2 подвешены на нитях. Шарик 1 отклонили от положения равновесия на высоту 20 см и отпустили.

Шарик 1 столкнулся с шариком 2 и прилип к нему (рис. 1). Определите: 1) скорость движения шарика 1 до столкновения; 2) скорость движения шариков после столкновения; 3) максимальную высоту, на которую поднимутся шарики после столкновения.

4. Шарик массой 10 г вылетает из пружинного пистолета, попадает в центр пластилинового бруска, подвешенного на нитях, и прилипает к нему. На какую высоту поднимется брусок, если перед выстрелом пружина была сжата на 4 см, жесткость пружины — 256 Н/м, а масса бруска — 30 г?

Экспериментальное задание

«Баллистический маятник». Изготовьте баллистический маятник (рис. 2).

Возьмите бумажную коробку и вылепите из пластилина еще одну коробку, немного меньшую по размеру. Вставьте пластилиновую коробку в бумажную и подвесьте устройство на нитях.

Испытайте устройство, измерив, например, скорость движения шарика детского пружинного пистолета. Для расчетов воспользуйтесь формулой, полученной при решении задачи 3 в § 38.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

Тема. Изучение закона сохранения механической энергии.

Цель: убедиться на опыте, что полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной, если в системе действуют только силы тяжести и силы упругости.

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой,

динамометр, набор грузов, линейка длиной 4050 см, резиновый шнур длиной 15 см с указателем и петельками на концах, карандаш, прочная нить.

теоретические сведения

Для выполнения работы можно использовать экспериментальную установку, изображенную на рис. 1. Отметив на линейке положение указателя при ненагруженном шнуре (отметка 0), к петельке шнура подвешивают груз. Груз оттягивают вниз (положение 1), придав шнуру некоторое удлинение (рис. 2). В положении 1 полная механическая энергия системы «шнур — груз — Земля» равна потенциальной энергии растянутого шнура:

где F 1 = kx 1 — модуль силы упругости шнура при его растяжении на x 1 .

Затем груз отпускают и отмечают положение указателя в момент, когда груз достигнет максимальной высоты (положение 2). В этом положении полная механическая энергия системы равна сумме потенциальной энергии поднятого на высоту h груза и потенциальной энергии растянутого шнура:

указания к работе

подготовка к эксперименту

1. Прежде чем приступить к выполнению работы, вспомните:

1) требования безопасности при выполнении лабораторных работ;

2) закон сохранения полной механической энергии.

2. Проанализируйте формулы (1) и (2). Какие измерения следует выполнить, чтобы определить полную механическую энергию системы в положении 1; в положении 2? Составьте план проведения эксперимента.

3. Соберите установку, как показано на рис. 1.

4. Потянув за нижнюю петельку шнура вертикально вниз, выпрямите шнур, не натягивая его. Обозначьте на линейке карандашом положение указателя при ненагруженном шнуре и поставьте отметку 0.

Эксперимент

Строго придерживайтесь инструкции по безопасности (см. форзац).

Результаты измерений сразу заносите в таблицу.

1. Определите с помощью динамометра вес P груза.

2. Подвесьте груз к петельке. Оттянув груз вниз, отметьте на линейке положение 1 указателя, возле отметки поставьте цифру 1.

3. Отпустите груз. Заметив положение указателя в момент, когда груз достиг наибольшей высоты (положение 2), поставьте в соответствующем месте отметку 2. Обратите внимание: если отметка 2 будет выше отметки 0, опыт необходимо повторить, уменьшив растяжение шнура и соответственно изменив расположение отметки 1.

4. Измерьте силы упругости F 1 и F 2 , возникающие в шнуре при его растяжении на x 1 и x 2 соответственно. Для этого снимите груз и, зацепив петельку шнура крючком динамометра, растяните шнур сначала до отметки 1, а затем до отметки 2.

5. Измерив расстояния между соответствующими отметками, определите удлинения x 1 и x 2 шнура, а также максимальную высоту h подъема груза (см. рис. 2).

6. Повторите действия, описанные в пунктах 1-5, подвесив на шнур два груза вместе.

Обработка результатов эксперимента

1. Для каждого опыта определите:

1) полную механическую энергию системы в положении 1;

2) полную механическую энергию системы в положении 2.

2. Закончите заполнение таблицы.

Анализ результатов эксперимента

Проанализируйте эксперимент и его результаты. Сформулируйте вывод, в котором: 1) сравните полученные вами значения полной механической энергии системы в положении 1; в положении 2; 2) укажите причины возможного расхождения результатов; 3) укажите физические величины, измерение которых, на ваш взгляд, дало наибольшую погрешность.

Задание «со звездочкой»

По формуле

эксперимента.

Творческое задание

Возьмите небольшой шарик на длинной прочной нити. К нити привяжите резиновый шнур и закрепите его так, чтобы шарик висел на расстоянии 20-30 см от пола. Потяните шарик вниз и измерьте удлинение шнура. Отпустив шарик, измерьте высоту, на которую он поднялся. Определите жесткость шнура и вычислите данную высоту теоретически. Сравните результат вычисления с результатом эксперимента. В чем возможные причины расхождений?

Это материал учебника

Нить с подвешенным на ней грузом отклонили на угол α и отпустили. На какой угол β отклонится нить с грузом, если при своем движении она будет задержана штифтом, поставленным на вертикали, посередине длины нити?

Ответ

β = arccos(2cosα -1).

1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v 0 = 16 м/с. На какой высоте h кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии?

2. С какой начальной скоростью надо бросить мяч с высоты h , чтобы он подпрыгнул на высоту 2h ? Удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

1. h ≈ 6,5 м.

С башни высотой H = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью v 0 = 15 м/с. Найти кинетическую (K ) и потенциальную (U ) энергии камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

K = 32,2 Дж; U = 39,4 Дж.

Определить величину кинетической энергии K тела массой 1 кг, брошенного горизонтально со скоростью 20 м/с, в конце четвертой секунды его движения. Принять g =10 м/с 2 .

Ответ

K = 1000 Дж.

Гибкий однородный канат длиной L лежит на гладком горизонтальном столе. Один конец каната находится у края стола. В некоторый момент от небольшого толчка канат начал двигаться, непрерывно соскальзывая со стола. Как зависит ускорение и скорость каната от длины х куска его, свешивающегося со стола? Какова будет скорость каната к моменту, когда он сползет со стола?

Ответ

a = xg /L ; ; .

Канат длиной L переброшен через штырь. В начальный момент концы каната находились на одном уровне. После слабого толчка канат пришел в движение. Определить скорость v каната к моменту, когда он соскользнет со штыря. Трением пренебречь.

Ответ

Конькобежец, разогнавшись до скорости v = 27 км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую высоту H от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет h = 0,5 м на каждые s = 10 м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед k = 0,02?

Ответ

H ≈ 2 м.

Тело массой m = 1,5 кг, брошенное вертикально вверх с высоты h = 4,9 м со скоростью v 0 = 6 м/с, упало на землю со скоростью v = 5 м/с. Определить работу сил сопротивления воздуха.

Ответ

A ≈ -80,2 Дж.

Камень массой 50 г, брошенный под углом к горизонту с высоты 20 м над поверхностью земли со скоростью 18 м/с, упал на землю со скоростью 24 м/с. Найти работу по преодолению сил сопротивления воздуха.

Ответ

A ≈ 3,5 Дж.

Самолет массой m = 10 3 кг летит горизонтально на высоте H = 1200 м со скоростью v 1 = 50 м/с. Затем мотор отключается, самолет переходит в планирующий полет и достигает земли со скоростью v 2 = 25 м/с. Определить среднюю силу сопротивления воздуха при спуске, принимая длину спуска равной 8 км.

Ответ

F ср ≈ 1570 Н.

Тело массой m = 1 кг движется по столу, имея в начальной точке скорость v 0 = 2 м/с. Достигнув края стола, высота которого h = 1 м, тело падает. Коэффициент трения тела о стол k = 0,1. Определить количество теплоты, выделившееся при неупругом ударе о землю. Путь, пройденный телом по столу, s = 2 м.

Ответ

Q ≈ 9,8 Дж.

Прикрепленный к вертикальной пружине груз медленно опускают до положения равновесия, причем пружина растягивается на длину х 0 . На сколько растянется пружина, если тому же грузу предоставить возможность падать свободно с такого положения, при котором пружина не растянута? Какой максимальной скорости v макс достигнет при этом груз? Каков характер движения груза? Масса груза m . Массой пружины пренебречь.

Ответ

2x 0 ; ; колебательный характер движения груза.

Падающим с высоты h = 1,2 м грузом забивают сваю, которая от удара уходит в землю на s = 2 см. Определить среднюю силу удара F ср и его продолжительность τ , если масса груза М = 5·10 2 кг, масса сваи много меньше массы груза.

Ответ

F ср ≈ 3·10 5 Н; τ ≈ 8·10 -3 с.

С горы высотой h = 2 м и основанием b = 5 м съезжают санки, которые затем останавливаются, пройдя по горизонтали путь l = 35 м от основания горы. Найти коэффициент трения.

Ответ

k = 0,05.

Стальной шарик массой m = 20 г, падая с высоты h 1 = 1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту h 2 = 81 см. Найти: а) импульс силы, действовавшей на плиту за время удара; б) количество теплоты, выделившееся при ударе.

Ответ

а) p = 0,17 Н·с;

б) Q = 3,7·10 -2 Дж.

Легкий шарик начинает свободно падать и, пролетев расстояние l , сталкивается упруго с тяжелой плитой, движущейся вверх со скоростью u . На какую высоту h подскочит шарик после удара?

Ответ

Воздушный шар, удерживаемый веревкой, поднялся на некоторую высоту. Как изменилась потенциальная энергия системы шар — воздух — Земля?

Ответ

Потенциальная энергия системы шар — воздух — Земля уменьшилась, поскольку при подъеме шара вверх объем, занимаемый шаром, замещается воздухом, имеющим массу, бо льшую, чем шар.

Хоккейная шайба, имея начальную скорость v 0 = 5 м/с, скользит до удара о борт площадки s = 10 м. Удар считать абсолютно упругим, коэффициент трения шайбы о лед k = 0,1, сопротивлением воздуха пренебречь. Определить, какой путь l пройдет шайба после удара.

Ответ

l ≈ 2,7 м.

Тело соскальзывает без трения с клина, лежащего на горизонтальной плоскости, два раза: первый раз клип закреплен; второй раз клин может скользить без трения. Будет ли скорость тела в конце соскальзывания с клина одинакова в обоих случаях, если тело оба раза соскальзывает с одной и той же высоты?

Ответ

Скорость тела в первом случае больше, чем во втором.

Почему трудно допрыгнуть до берега с легкой лодки, стоящей вблизи берега, и легко это сделать с парохода, находящегося на таком же расстоянии от берега?

Ответ

Прыгая с парохода, человек совершает меньшую работу, чем в том случае, когда прыгает с лодки.

Конькобежец массой М = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с относительно Земли. Найти, на какое расстояние s откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед k = 0,02.

Ответ

s ≈ 0,29 м.

Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой m = 8 кг со скоростью v 1 = 5 м/с относительно Земли. Определить, какую при этом человек совершает работу, если масса тележки вместе с человеком М = 160 кг. Проанализируйте зависимость работы от массы М . Трением пренебречь.

Ответ

A ≈ 105 Дж.

Винтовка массой М = 3 кг подвешена горизонтально на двух параллельных нитях. При выстреле в результате отдачи она отклонилась вверх на h = 19,6 см.

Масса пули m = 10 г. Определить скорость v 1 , с которой вылетела пуля.

Ответ

v 1 ≈ 590 м/с.

Пуля, летевшая горизонтально со скоростью v = 40 м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной l = 4 м, и застревает в нем. Определить угол α , на который отклонится брусок, если масса пули m 1 = 20 г, а бруска m 2 = 5 кг.

Ответ

α ≈ 15º.

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в n = 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара l = 1 м. Найти скорость пули v , если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол α = 10°.

Ответ

v ≈ 550 м/с.

Пуля массой m 1 = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v 1 = 600 м/с, ударилась в свободно подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой m 2 = 0,5 кг и застряла в нем, углубившись на s = 10 см. Найти силу F с сопротивления дерева движению пули. На какую глубину S 1 войдет пуля, если тот же брусок закрепить.

Ответ

F с ≈ 1,8·10 4 Н; s 1 ≈ 10,2 см.

В покоящийся шар массой М = 1 кг, подвешенный на длинном жестком стержне, закрепленном в подвесе на шарнире, попадает пуля массой m = 0,01 кг. Угол между направлением полета пули и линией стержня равен α = 45°. Удар центральный. После удара пуля застревает в шаре и шар вместе с пулей, отклонившись, поднимается на высоту h = 0,12 м относительно первоначального положения. Найти скорость пули v . Массой стержня пренебречь.

Ответ

v ≈ 219 м/с.

Маятник представляет собой прямой тонкий стержень длиной l = 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массой М = 1 кг. В шар попадает летящий горизонтально со скоростью v = 50 м/с стальной шарик массой m = 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая удар упругим и центральным. Массой стержня пренебречь.

Ответ

α ≈ 30º.

На нити, перекинутой через блок, подвешены два груза неравных масс m 1 и m 2 . Найти ускорение центра масс этой системы. Решить задачу двумя способами, применяя: 1) закон сохранения энергии и 2) закон движения центра масс. Массами блока и нити пренебречь.

Ответ

Молот массой m = 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне, и деформирует ее. Масса наковальни вместе с болванкой М = 20 т. Определить коэффициент полезного действия η при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной.

Ответ

η ≈ 93 %.

Тело массой m 1 ударяется неупруго о покоящееся тело массой m 2 . Найти долю q потерянной при этом кинетической энергии.

Ответ

q = m 2 /(m 1 +m 2).

На передний край платформы массой М , движущейся горизонтально без трения со скоростью v , опускают с небольшой высоты короткий брусок массой m . При какой минимальной длине платформы l брусок не упадет с нее, если коэффициент трения между бруском и платформой k . Какое количество теплоты Q выделится при этом.

Ответ

; .

Телу массой m = 1 кг, лежащему на длинной горизонтальной платформе покоящейся тележки, сообщают скорость v = 10 м/с. Коэффициент трения тела о платформу k = 0,2. Какой путь пройдет тележка к тому моменту, когда тело остановится на ней? Какое количество теплоты выделится при движении тела вдоль платформы? Тележка катится по рельсам без трения, ее масса М = 100 кг.

Ответ

s ≈ 0,25 м; Q ≈ 50 Дж.

Два груза массами m 1 = 10 кг и m 2 = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол α = 60° и отпущен. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать неупругим. Какое количество теплоты при этом выделяется?

Ответ

h ≈ 0,16 м; Q ≈ 58,8 Дж.

Шарик движется между двумя очень тяжелыми вертикальными параллельными стенками, соударяясь с ними по закону абсолютно упругого удара. Одна из стенок закреплена, другая движется от нее с постоянной горизонтальной скоростью u х = 0,5 м/с. Определить число соударений и и окончательную скорость v x шарика, если перед первым соударением со стенкой она была равна v 0x = 19,5 м/с.

Ответ

Число соударений n = 19; v x = 0,5 м/с.

Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Массы шаров m 1 = 0,2 кг и m 2 = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту h = 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар: а) упругий; б) неупругий?

Ответ

а) h 1 = 5·10 -3 м, h 2 = 0,08 м;

б) H = 0,02 м.

Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после центрального упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в четыре раза меньше массы атома гелия?

Ответ

n = 5/3.

На шар, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, налетает другой шар такого же радиуса, движущийся горизонтально. Между шарами происходит упругий центральный удар. Построить график зависимости доли переданной энергии от отношения масс шаров α =m 1 /m 2 .

Ответ

Для получения медленных нейтронов их пропускают сквозь вещества, содержащие водород (например, парафин). Найти, какую наибольшую часть своей кинетической энергии нейтрон массой m 0 может передать: а) протону (масса m 0); б) ядру атома свинца (масса m = 207 m 0). Наибольшая часть передаваемой энергии соответствует упругому центральному удару.

Ответ

а) 100 %, при упругом столкновении частиц с одинаковой массой происходит обмен скоростями;

Два идеально упругих шарика массами m 1 и m 2 движутся вдоль одной и той же прямой со скоростями v 1 и v 2 . Во время столкновения шарики начинают деформироваться и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, а запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую. Найти значение максимальной потенциальной энергии деформации.

Ответ

Небольшое тело обтекаемой формы с плотностью ρ 1 падает в воздухе с высоты h на поверхность жидкости с плотностью ρ 2 , причем ρ 1 < ρ 2 . Определить глубину h 1 погружения тела в жидкость, время погружения t и ускорение a . Сопротивлением жидкости пренебречь.

Ответ

; ; .

На нити длиной l подвешен груз массой m . Определить, на какую минимальную высоту надо поднять этот груз, чтобы он, падая, разорвал нить, если минимальный груз массой М , подвешенный на нити и разрывающий ее, растягивает нить в момент разрыва на 1% от ее длины. Принять, что для нити справедлив закон Гука вплоть до разрыва.

Ответ

h мин = 0,01Ml /(2m ).

Определить максимальную дальность полета струи s из шприца диаметром d = 4 см, на поршень которого давит сила F = 30 Н. Плотность жидкости ρ = 1000 кг/м 3 . Сопротивлением воздуха пренебречь (S отв ≪ S порш).

Ответ

s ≈ 4,9 м.

Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен горизонтально. С какой скоростью u перемешается в цилиндре поршень, если на него действует сила F , а из отверстия в дне цилиндра вытекает струя диаметром d ? Трением пренебречь. Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости ρ .

Ответ

По гладкому горизонтальному проволочному кольцу могут без трения скользить две бусинки массами m 1 и m 2 . Вначале бусинки были соединены ниткой и между ними находилась сжатая пружина. Нитку пережигают. После того как бусинки начали двигаться, пружинку убирают. В каком месте кольца бусинки столкнуться в 11-й раз? Столкновения бусинок абсолютно упругие. Массой пружины пренебречь.

Ответ

l 1 /l 2 = m 2 /m 1 , где l 1 и l 2 — длины дуг кольца от точки начала движения до точки 11-го соударения.

Протон массой m , летящий со скоростью v 0 , столкнулся с неподвижным атомом массой М , после чего стал двигаться в прямо противоположную сторону со скоростью 0,5 v o , а атом перешел в возбужденное состояние. Найти скорость v и энергию Е возбуждения атома.

Ответ

; .

При распаде неподвижного ядра образуются три осколка массами m 1 , m 2 и m 3 с общей кинетической энергией Е 0 . Найти скорости осколков, если направления скоростей составляют друг с другом углы в 120°.

Ответ

;

В общем виде:

В неподвижный шар ударяется не по линии центров другой такой же шар. Под каким углом α разлетятся шары, если они абсолютно упругие и абсолютно гладкие?

Ответ

α = 90º.

Два шара А и В с различными неизвестными массами упруго сталкиваются между собой. Шар А до соударения находился в покое, а шар В двигался со скоростью v . После соударения шар В приобрел скорость 0,5 v и начал двигаться под прямым углом к направлению своего первоначального движения. Определить направление движения шара А и его скорость v A после столкновения.

Ответ

v A = 0,66v .

При бомбардировке гелия α -частицами с энергией Е 0 налетающая частица отклонилась на угол φ = 60° по отношению к направлению ее движения до столкновения. Считая удар абсолютно упругим, определить энергии α -частицы W α и ядра W He после столкновения. Энергия теплового движения атомов гелия много меньше E 0 .

Ответ

W α = 1/4 E 0 ; W He = 3/4 E 0 .

Гладкий шарик из мягкого свинца налетает на такой же шарик, первоначально покоящийся. После столкновения второй шарик летит под углом α к направлению скорости первого шарика до столкновения. Определить угол β , под которым разлетаются шары после столкновения. Какая часть кинетической энергии T перейдет при столкновении в тепло Q ?

Ответ

β = arctg(2tgα ); Q /T = ½cos 2 α .

Шар массой m , движущийся со скоростью v , налетает на покоящийся шар массой m /2 и после упругого удара продолжает двигаться под углом α = 30° к направлению своего первоначального движения. Найти скорости шаров после столкновения.

Преснякова И.А. 1 Бондаренко М.А. 1

Атаян Л.А. 1

1 Муниципальное образовательное учреждение «Средняя школа №51 имени Героя Советского Союза А. М. Числова Тракторозаводского района Волгограда»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В мире, в котором мы живём, всё течёт и изменяется, но человек всегда надеется отыскать нечто неизменное. Это неизменное должно быть первоисточником любого движения - это энергия.

Актуальность проблемы вытекает из повышенной заинтересованности к точным наукам. Объективные возможности по формированию познавательного интереса- экспериментальное обоснование, как основного условия научного познания.

Объект исследования- энергия и импульс.

Предмет: законы сохранения энергии и импульса.

Цель работы:

Исследовать выполнение законов сохранения энергии и импульса в различных механических процессах;

Развивать навыки исследовательской работы, научиться анализировать полученный результат.

Для реализации поставленной цели выполнены следующие задачи:

- провели анализ теоритического материала по теме исследования;

Исследовали специфику действия законов сохранения;

Рассматривали практическую значимость этих законов.

Гипотеза исследования заключается в том, что законы сохранения и превращение энергии и импульса - универсальные законы природы.

Значимость работы заключается в использовании результатов исследований на уроках физики, что определяет возможности приращения новых умений и навыков; развитие проекта предполагается через создание сайта, где будут раскрыты дальнейшие экспериментальные исследования.

Глава I .

1. 1 Виды механической энергии

Энергия - это общая мера различных процессов и видов взаимодействия. Механической энергией называют физическую величину, характеризующую способность тела или системы тел совершить работу. Энергия тела или системы тел определяется максимальной работой, которую они способны совершить в данных условиях. К механической энергии относят два вида энергии - кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называется энергия движущегося тела. Для вычисления кинетической энергии предположим, что на тело массы m в течение времени t действует неизменная сила F , которая вызывает изменение скорости на величину v -v 0 , и при этом совершается работа A = Fs (1),где s - путь, пройденный телом за время t в направлении действия силы. Согласно второму закону Ньютона запишем Ft = m(v - v 0), откуда F = m .Пройденный телом за время путь определим через среднюю скорость: s = v ср t .Так как движение равнопеременное, то s= t .Можно сделать вывод, что кинетическая энергия тела массы m , движущегося поступательно со скоростью v , при условии, что v 0 = 0, равна:E к =(3).При соответствующих условиях возможно изменение потенциальной энергии, за счет чего свершается работа.

Проведем эксперимент: Сравним потенциальную энергию пружины с потенциальной энергией поднятого тела.Оборудование: штатив, динамометр учебный, шар массой 50 г, нитки, линейка измерительная, весы учебные, гири.Определим высоту подъема шара за счет потенциальной энергии растянутой пружины, используя закон сохранения механической энергии. Проведём эксперимент и сравните результаты расчета и опыта.

Порядок выполнения работы.

1. Измерим с помощью весов массу m шара.

2. Укрепим динамометр на штативе и к крючку привяжем шар. Заметим начальную деформацию x 0 пружины, соответствующую показанию динамометра F 0 =mg .

3. Удерживаем шар на поверхности стола, поднимем лапку штатива с динамометром так, чтобы динамометр показывал силу F 0 + F 1 , где F 1 = 1 Н, при удлинении пружины динамометра, равном x 0 + x 1 .

4. Рассчитаем высоту H Т , на которую должен подняться шар под действием силы упругости растянутой пружины в поле силы тяжести: H Т =

5. Отпустим шар и заметим с помощью линейки высоту H Э , на которую поднимается шар.

6. Повторим опыт, поднимая динамометр так, чтобы его удлинение было равно x 0 + x 2 , x 0 + x 3 , что соответствует показаниям динамометра F 0 + F 2 и F 0 + F 3 , где F 2 = 2 Н, F 3 = 3 Н.

7. Рассчитаем высоту подъема шара в этих случаях и производим соответствующие измерения высоты с помощью линейки.

8. результаты измерений и расчетов заносим в отчетную таблицу.

				H Т , м	H Э , м

kx 2 /2= mgH (0,0125Дж= 0,0125Дж)

9. Для одного из опытов оценим достоверность проверки закона сохранения энергии = mgH .

1.2. Закон сохранения энергии

Рассмотрим процесс изменения состояния тела, поднятого на высоту h . При этом его потенциальная энергия E p = mh . Тело начало свободно падать (v 0 = 0). В начале паденияE p = max, а E к = 0.Однако сумма кинетической и потенциальной энергией во всех промежуточных точках пути остается неизменной, если не происходит рассеяния энергии на трение и т.д. следовательно, если не происходит превращения механической энергии в другие виды энергии, тоEp + E к = const. Такая система относится к консервативным.Энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов в другие (механические, тепловые, электрические и т.д.), но общее ее количество остается постоянным. Данное положение называют законом сохранения и превращения энергии.

Проведем эксперимент: сравним изменения потенциальной энергии растянутой пружины с изменением кинетической энергии тела.

	F у							E k	ΔE k

Оборудование: два штатива для фронтальных работ, динамометр учебный, шар, нитки, листы белой и копировальной бумаги, линейка измерительная, весы учебные со штативом, гири.На основании закона сохранения и превращения энергии при взаимодействии тел силами упругости изменение потенциальной энергии растянутой пружины должно быть равно изменению кинетической энергии связанного с ней тела, взятому с противоположным знаком:ΔE p= - ΔE k .Для экспериментальной проверки этого утверждения можно воспользоваться установкой.В лапке штатива закрепляем динамометр. К его крючку привязываем шар на нити длиной 60-80 см. На другом штативе на одинаковой высоте с динамометром укрепляем в лапке желоб. Установив шар на краю желоба, и удерживая его, отодвигаем второй штатив от первого на длину нити. Если отодвинуть шар от края желоба на x , то в результате деформация пружина приобретет запас потенциальной энергии ΔE p = , где k - жесткость пружины.Затем шар отпускаем. Под действием силы упругости шар приобретает скорость υ . Пренебрегая потерями, вызванными действием силы трения, можно считать, что потенциальная энергия растянутой пружины полностью превратится в кинетическую энергию шара:. Скорость шара можно определить, измерив, дальность его полета s при свободном падении с высоты h . Из выражений v = и t = следует, что v = s . Тогда ΔE k = = . С учетом равенства F у = kx получим: =.

kx2/2 = (mv) 2 /2

0,04=0,04 .Оценим границы погрешностей измерения потенциальной энергии растянутой пружины.Так как E p =, то граница относительной погрешности равна: = + = +.Граница абсолютной погрешности равна:ΔEp = E p. Оценим границы погрешностей измерения кинетической энергии шара. Так как E k = , то граница относительной погрешности равна: = + ? + ? g + ? h .Погрешностями,? g и? h по сравнению с погрешностью?s можно пренебречь. В этом случае ≈ 2 ? = 2 .Условия эксперимента по измерению дальности полета таковы, что отклонения результатов отдельных измерений от среднего значительно выше границы систематической погрешности (Δs случ Δ s сист), поэтому можно принять, что Δs ср ≈ Δs случ. Граница случайной погрешности среднего арифметического при небольшом числе измерений N находится по формуле: Δs ср = ,

гдерассчитывается по формуле:

Таким образом, = 6.Граница абсолютной погрешности измерения кинетической энергии шара равна: ΔE k = E k .

Глава II .

2.1. Закон сохранения импульса

Импульсом тела (количеством движения) называется произведение массы тела на его скорость. Импульс - векторная величина.Единица СИ импульса: = кг*м/с = Н*с. Если p- импульс тела, m - масса тела, v - скорость тела, то = m (1). Изменение импульса тела постоянной массы может происходить только в результате изменения скорости и всегда обусловлено действием силы.Если Δp - изменение импульса,m - масса тела, Δv = v 2 -v 1 - изменение скорости,F - ускоряющая тело постоянная сила, Δt - продолжительность действия силы, то согласно формул=m и = . Имеем = m = m ,

Учитывая выражение (1) получаем: Δ = m Δ = Δt (2).

На основании (6) можно заключить, что изменения импульсов двух взаимодействующих тел одинаковы по модулю, но противоположны по направлению (если импульс одного из взаимодействующих тел увеличивается, то импульс другого тела на столько же уменьшается), а на основании (7) - что суммы импульсов тел до взаимодействия и после взаимодействия равны, т.е. суммарный импульс тел в результате взаимодействия не изменяется.Закон сохранения импульса справедлив для замкнутой системы с любым числом тел:= = constant. Геометрическая сумма импульсов замкнутой системы тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой, т.е. импульс замкнутой системы тел сохраняется.,

Проведем опыт: проверим выполнение закона сохранения импульса.

Оборудование: штатив для фронтальных работ; лоток дугообразный; шары диаметром 25мм-3шт.; линейка измерительная длиной 30см с миллиметровыми делениями; листы белой и копировальной бумаги; весы учебные; гири. Проверим выполнение закона сохранения импульса при прямом центральном соударении шаров. По закону сохранения импульса при любых взаимодействиях тел векторная сумма

m 1 кг

m 2 кг

l 1. м

v 1 .м/с

p 1. кг*м/с

l ′ 1

l ′ 2

v ′ 1

v ′ 2

p ′ 1

p ′ 2

центральный

импульсов до взаимодействия равна векторной сумме импульсов тел после взаимодействия. В справедливости этого закона можно убедиться на опыте, изучая столкновения шаров на установке. Для сообщения шару определенного импульса в горизонтальном направлении используем наклонный лоток с горизонтальным участком. Шар, скатившись с лотка, движется по параболе до удара о поверхность стола. Проекции скорости

шара и его импульса на горизонтальную ось во время свободного падения не изменяются, так как нет сил, действующих на шар в горизонтальном направлении. Определив импульс одного шара, проводим опыт с двумя шарами, поставив на краю лотка второй шар, и запускаем первый шар так же, как и в первом опыте. После соударения оба шара слетают с лотка. По закону сохранения импульса сумма импульсов первогои второго шаров до столкновения должна быть равна сумме импульс и этих шаров после столкновения: + = + (1) .Если при столкновении шаров произошел центральный удар (при котором векторы скоростей шаров в момент столкновения параллельны линии, соединяющей центры шаров), и оба шара после столкновения движутся вдоль одной прямой и в том же направлении, в каком двигался первый шар до столкновения, то от векторной формы записи закона сохранения импульса можно перейти к алгебраической форме:p 1 + p 2 = p ′ 1 + p ′ 2 , или m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2 (2). Так как скорость v 2 второго шара до столкновения была равна нулю, то выражение (2) упрощается:m 1 v 1 = m 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2 (3)

Для проверки выполнения равенства (3) измеряем массы m 1 и m 2 шаров и вычисляем скорости v 1 , v ′ 1 иv ′ 2 . Во время движения шара по параболе, проекция скорости на горизонтальную ось не изменится; ее можно найти по дальности l полета шара в горизонтальном направлении и времени t его свободного падения (t =):v = = l (4). p1 = p′1 + p′2

0,06 кг*м/с = (0,05+0,01) кг*м/с

0,06 кг*м/с=0,06 кг*м/с

Мы убедились в выполнения закона сохранения импульса при прямом центральном соударении шаров.

Проведем опыт: сравним импульс силы упругости пружины с изменением импульса снаряда.Оборудование: двусторонний баллистический пистолет; весы технические с разновесом; штангенциркуль; уровень; лента измерительная; отвес; динамометр пружинный на нагрузку 4 Н; штатив лабораторный с муфтой; пластинка с проволочной петлей; по два листа писчей и копировальной бумаги.Известно, что импульс силы равен изменению импульса тела, на которое действует постоянная сила, т.е.Δt = m - m . В этой работе сила упругости пружины действует на снаряд, который в начале опыта покоится (v 0 = 0): выстрел производится снарядом 2 , а снаряд 1 в это время прочно удерживается рукой на платформе. Поэтому данное соотношение в скалярной форме можно переписать так: Ft = mv, где F - средняя сила упругости пружины, равная, t- время действия силы упругости пружины, m - масса снаряда 2, v -горизонтальная составляющая скорости снаряда. Максимальную силу упругости пружины и массу снаряда 2 измеряем. Скорость v вычисляем из соотношения v= , где - постоянная величина, а h - высота и s - дальность полета снаряда берутся из опыта. Время действия силы вычисляют из двух уравнений: v = at и v 2 = 2ax , т.е. t= , где x - величина деформации пружины. Для нахождения величины x измеряем у первого снаряда длину выступающей части пружины l , а у второго - длину выступающего стержня и складываем их: x = l 1 + l 2 . Измеряем дальность полета s (расстояние от отвеса до усредненной точки) и высоту падения h . Потом определяем на весах массу снаряда m 2 и, измерив штангенциркулем l 1 и l 2 , вычисляем величину деформации пружины x . После этого у снаряда 1 отвертываем шарик и зажимаем им пластинку с петлей из проволоки. Снаряды соединяем и за петлю цепляем крючок динамометра. Придерживая снаряд 2 рукой, сжимаем пружину с помощью динамометра (при этом снаряды должны соединиться) и определяем силу упругости пружины Зная дальность полета и высоту падения, вычисляем скорость снаряда

						mv, 10 -2 кг*м/сек	Ft, 10 -2 кг*м/сек

v= , а затем и время действия силы t = . Наконец, вычисляем изменение импульса снаряда mv и импульс силы Ft . Опыт повторяем три раза, меняя силу упругости пружины, и все результаты измерений и вычислений заносим в таблицу.Результаты опыта при h = 0,2 м и m = 0,28 кг будут такие: mv=Ft (3,47*10-2 кг*м/с =3,5*10-2 кг*м/с)

	F макс, Н					s(из опыта)м

Совпадения окончательных результатов в пределах точности измерений подтверждает закон сохранения импульса.mv=Ft (3,47*10 -2 кг*м/с =3,5*10 -2 кг*м/с). Подставив эти выражения в формулу (1) и выразив ускорение через среднюю силу упругости пружины, т.е. a= , получаем формулу для вычисления дальности полета снаряда: s = . Таким образом, измерив F макс, массу снаряда m , высоту падения h и деформацию пружины x = l 1 + l 2 , вычисляем дальность полета снаряда и проверяем ее экспериментально. Опыт выполняем не менее двух раз, меняя упругость пружины, массу снаряда или высоту падения.

Глава III .

3.1. Приборы по законам сохранения энергии и импульса

Маятник Ньютона

Колыбель Ньютона (маятник Ньютона) — механическая система, названная в честь Исаака Ньютона для демонстрации преобразования энергии различных видов друг в друга: кинетической в потенциальную и наоборот. В отсутствие противодействующих сил (трения) система могла бы действовать вечно, но в реальности это недостижимо.Если отклонить первый шарик и отпустить, то его энергия и импульс передадутся без изменения через три средних шарика последнему, который приобретёт ту же скорость и поднимется на ту же высоту. По расчетам ньютона два шара диаметром по 30 см, расположенный на расстоянии 0,6 см, сойдутся под действием силы взаимного притяжения через месяц после начала движения (расчет производится при отсутствии внешнего сопротивления).Плотность шаров ньютон брал равной средней плотности земли: p 5*10^3 кг/м^3 .

На расстоянии l = 0.6 cм = 0,006 м между поверхностями шаров радиусом R = 15 см = 0,15 м на шары действует сила

F? = GM²/(2R+l)².При соприкосновении шаров на них действует сила

F? = GM²/(2R)². F?/F? = (2R)²/(2R+l)² = (2R/(2R+l))² = (0.3/(0.3 + 0.006))² = 0.996 ≈ 1 так что допущение справедливо.Масса шара равна:

М = ρ(4/3)пR³ = 5000*4*3,14*0,15³/3 = 70,7 кг.Сила взаимодействия равна

F = GM²/(2R)² = 6,67.10?¹¹.70.7²/0.3² = 3.70.10?? Н. Ускорение силы тяжести равно:a = F/M = 3.70.10??/70.7 = 5.24.10?? м/с².Путь:s = l/2 = 0.6/2 = 0.3 cм = 0,003 м шар пройдёт за время t равное t = √2S/a = √(2*0.003/5.24.10??) = 338 c = 5.6 мин.Так что Ньютон ошибся: похоже, что мячики сойдутся достаточно быстро - за 6 минут.

Маятник Максвелла

Маятник Максвелла представляет собой диск (1), туго насаженный на стержень (2), на который намотаны нити (3) (рис. 2.1). Диск маятника представляет собой непосредственно сам диск и сменные кольца, которые закрепляются на диске.При освобождении маятника диск начинает движение: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводить вновь к наматыванию нитей на стержень, а, следовательно, и к подъему маятника. Движение маятника после этого снова замедляется, маятник останавливается и снова начинает свое движение вниз и т.д.Ускорение поступательного движения центра масс маятника (а) может быть получено по измеренному времени t и проходимому маятником расстоянию h из уравнения. .Масса маятника m является суммой масс его частей (оси m0, диска mд и кольца mк):

Момент инерции маятника J также является аддитивной величиной и определяется по формуле

Где, - соответственно моменты инерции оси, диска и кольца маятника.

Момент инерции оси маятника равен,где r - радиус оси, m 0 = 0,018 кг - масса оси.Моменты инерции диска может быть найден как

Где R д - радиус диска, m д = 0,018 кг - масса диска.Момент инерции кольца рассчитывается по формуле средний радиус кольца, m к - масса кольца, b - ширина кольца.Зная линейное ускорение а и угловое ускорение ε(ε · r ), можно найти угловую скорость его вращения (ω ):,Полная кинетическая энергия маятника складывается из энергии поступательного перемещения центра масс и из энергии вращения маятника вокруг оси:

Заключение.

Законы сохранения образуют тот фундамент, на котором основывается преемственность физических теорий. Действительно, рассматривая эволюцию важнейших физических концепций в области механики, электродинамики, теории теплоты, современных физических теорий, мы убеждались в том, что в этих теориях неизменно присутствуют либо одни и те же классические законы сохранения (энергии, импульса и др.), либо наряду с ними появляются новые законы, образуя тот стержень, вокруг которого и идет истолкование экспериментальных фактов. «Общность законов сохранения в старых и новых теориях является еще одной формой внутренней взаимосвязи последних». Трудно переоценить роль закона сохранения импульса. Он является общим правилом, полученным человеком на основе длительного опыта. Умелое использование закона позволяет относительно просто решать такие практические задачи, как поковка изделий в кузнечном цехе, забивание свай при строительстве зданий.

Применение.

Наши соотечественники И. В. Курчатов, Л. А. Арцимович исследовали одну из первых ядерных реакций, доказали справедливость закона сохранения импульса в такого вида реакциях. В настоящее время управляемые цепные ядерные реакции решают энергетические проблемы человечества.

Литература

1. Всемирная энциклопедия

2. Дик Ю.И., Кабардин О.Ф. «Физический практикум для классов с углубленным изучением физики». Москва: «Просвещение», 1993 г.- стр. 93.

3.Кухлинг Х. Справочник по физике; пер.с нем.2е изд. М, Мир, 1985 г.- стр.120.

4. Покровский А.А. «Практикум по физике в средней школе». Москва: «Просвещение», 1973 г.-стр. 45.

5. Покровский А.А. «Практикум по физике в средней школе». Москва: издание 2е, «Просвещение», 1982 г.-стр.76.

6. Роджерс Э.«Физика для любознательных. Том 2.»Москва: «Мир», 1969 г.-стр.201.

7. Шубин А.С. «Курс общей физики». Москва: «Высшая школа», 1976 г.- стр.224.

Движение тела с постоянной скоростью, как следует из законов Ньютона, может быть осуществлено двумя способами: либо без действия на данное тело сил, либо при действии сил, геометрическая сумма которых равна нулю. Между ними есть принципиальное различие. В первом случае не совершается работа, во втором - силами совершается работа.

Термин «работа» употребляют в двух значениях: для обозначения процесса и для обозначения скалярной физической величины, которая выражается произведением проекции силы на направление перемещения на длину вектора перемещения формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f150.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

В математике скалярное произведение двух векторов на косинус угла между ними называют скалярным произведением векторов , поэтому работа равна скалярному произведению вектора силы F и вектора перемещения формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f152.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Если угол между направлением силы и направлением перемещения острый, то сила совершает положительную работу, если тупой, то работа силы отрицательна.

В общем случае, когда сила меняется произвольным образом и траектория тела произвольна, вычисление работы оказывается не таким уж простым делом. Весь путь тела разбивают на столь малые участки, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной. На каждом из таких участков находят элементарную работу формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f154.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Полная работа при перемещении тела из точки 1 в точку 2 равна площади фигуры под графиком F(r) , рис. 18.

В практической деятельности важно знать быстроту выполнения работы. Величина, характеризующая скорость совершения работы, называется мощностью.

Мощность численно равна отношению работы формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f156.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", за который она совершается:

опред-е">среднюю мощность , а предел этого отношения при опред-е">мгновенную мощность :

пример">dA = опред-е">мощность определяется скалярным произведением векторов действующей силы и скорости движения тела :

пример"> v различна по отношению к двум системам отсчета, движущимся относительно друг друга.

Способность конкретного тела совершать работу характеризуют с помощью энергии.

Вообще энергия выступает в физике как единая и универсальная мера различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий .

Поскольку движение - неотъемлемое свойство материи, то любое тело, система тел или полей обладают энергией. Поэтому энергия системы количественно характеризует эту систему в отношении возможных в ней превращений движения. Понятно, что эти превращения происходят вследствие взаимодействий между частями системы, а также между системой и внешней средой. Для различных форм движения и соответствующих им взаимодействий вводят различные виды энергии - механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и т.д.

Мы рассмотрим механическую энергию . Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно охарактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике используется понятие работы силы. В механике различают кинетическую и потенциальную энергии.

Кинетической энергией движущейся материальной точки называют величину, определяемую как половину произведения массы точки на квадрат ее скорости:

пример">m , движущегося поступательно со скоростью v , равна также пример">F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью v , то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Приращение кинетической энергии рассматриваемого тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f165.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - разность между конечным и начальным значениями кинетической энергии.

Утверждение (3.1) называется теоремой об изменении кинетической энергии .

Силы, действующие на тело, могут различаться по своей природе и свойствам. В механике сложилось разделение сил на консервативные и неконсервативные .

Консервативными (потенциальными) называются силы , работа которых не зависит от траектории движения тела, а определяется только начальным и конечным его положением, поэтому работа по замкнутой траектории всегда равна нулю. Такими силами являются, например, сила тяжести и сила упругости.

Неконсервативными (диссипативными) называются силы , работа которых зависит от формы траектории и пройденного пути. Неконсервативными являются, например, сила трения скольжения, силы сопротивления воздуха или жидкости.

В общем случае работа любых консервативных сил может быть представлена как убыль некоторой величины П , которую называют потенциальной энергией тела:

опред-е">Убыль величины отличается от приращения знаком опред-е">Потенциальная энергия - часть механической энергии системы , определяемой взаимным расположением тел и характером взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия определяется работой, которую совершили бы действующие консервативные силы, перемещая тело из начального состояния, где можно соответствующим выбором координат считать, что потенциальная энергия П1 равна нулю, в данное положение.

Выражение (3.2) можно записать в виде:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f169.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Следовательно, если известна функция П , то (3.3) полностью определяет силу F по модулю и направлению:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f171.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Вектор, стоящий в (3.4) справа в квадратных скобках и построенный с помощью скалярной функции П , называется градиентом функции П и обозначается gradП . Обозначение пример">П по направлению х , соответственно пример">у , а пример">z .

Тогда можно сказать, что сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки:

пример">х из начального состояния 1 в конечное состояние 2:

опред-е">Потенциальная энергия может иметь различную физическую природу и конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например , потенциальная энергия тела массы m , находящегося на высоте h над поверхностью земли, равна П = mgh , если за нулевой уровень условно принята поверхность земли. Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение.

Потенциальная энергия тела, находящегося под действием упругой силы деформированной пружины равна пример">х - величина деформации пружины, k - жесткость пружины.

Можно найти работу против сил упругости. Приложим к упругому телу силу F = -kх , тогда работа при удлинении от формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f179.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":

опред-е">функцией состояния системы . Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Работа силы трения зависит от пути, а значит, и формы траектории. Следовательно, сила трения является неконсервативной.

Физическую величину, равную сумме кинетической и потенциальной энергий тела, называют его механической энергией Е = пример">П .

Можно показать, что приращение механической энергии равно суммарной работе формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f183.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Следовательно, если неконсервативные силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы над телом в течение интересующего нас времени, то механическая энергия тела остается постоянной за это время: Е= const . Это утверждение известно как закон сохранения механической энергии .

Рассмотрим систему N частиц, между которыми действуют только консервативные силы формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f185.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Запишем второй закон Ньютона для всех N частиц системы:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f187.gif" border="0" align="absmiddle" alt="), их сумма равна нулю..gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - импульс всей системы.

В результате сложения уравнений получаем

опред-е">закон изменения импульса системы .

Для системы частиц часто пользуются тем или иным усреднением. Это гораздо удобней, чем следить за каждой отдельной частицей. Таким усреднением является центр масс - точка, радиус-вектор которой определяется выражением:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f192.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - масса частицы, имеющей радиус-вектор пример">m - масса системы, равная сумме масс всех ее частиц.

Поскольку масса является мерой инертности, центр масс называют центром инерции системы . Иногда его называют также центром тяжести, имея в виду, что в этой точке приложена равнодействующая сил тяжести всех частиц системы.

При движении системы центр масс изменяется со скоростью

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f195.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - импульс системы, равный векторной сумме импульсов всех ее частиц.

На основании (3.8) выражение (3.6) можно представить в виде:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f197.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - ускорение центра инерции системы.

Таким образом, центр инерции системы движется под действием внешних сил, как материальная точка с массой, равной массе всей системы.

Правая часть (3.6) может быть равна нулю в двух случаях: если система замкнута или если внешние силы компенсируют друг друга. В этих случаях получаем:

опред-е">Если сумма внешних сил равна нулю (система является замкнутой), импульс системы тел остается постоянным при любых происходящих в ней процессах (закон сохранения импульса).

Уравнение (3.9) - закон сохранения импульса замкнутой системы - один из важнейших законов природы. Как и закон сохранения энергии, он выполняется всегда и везде - в макромире, микромире и в масштабах космических объектов.

Особая роль физических величин - энергии и импульса объясняется тем, что энергия характеризует свойства времени, а импульс - свойства пространства: их однородность и симметрию .

Однородность времени означает, что любые явления в разные моменты времени протекают совершенно одинаково.

Однородность пространства означает, что в нем нет никаких ориентиров, никаких особенностей. Поэтому невозможно определить положение частицы «относительно пространства», его можно определить только относительно другой частицы. Любые физические явления во всех точках пространства протекают совершенно одинаково.

Опред-е">абсолютно упругими (или просто упругими). Так, например, можно считать абсолютно упругим центральное столкновение двух стальных шаров.

опред-е">неупругими . Изменение механической энергии при таких столкновениях, как правило, характеризуется убылью и сопровождается, например, выделением тепла. Если тела после столкновения движутся как единое целое, то такое столкновение называют абсолютно неупругим.

Неупругий удар. Пусть рассмотренные выше шары после удара движутся как одно целое со скоростью u . Используем закон сохранения импульса:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f222.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Механическая энергия системы в случае неупругого удара не сохраняется , т.к. действуют неконсервативные силы. Найдем уменьшение кинетической энергии шаров. До удара их энергия равна сумме энергий обоих шаров:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f224.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Изменение энергии

опред-е">Пример использования законов сохранения импульса и механической энергии

ЗАДАЧА. Пуля массой m , летевшая горизонтально со скоростью v , попадает в шар массой М , подвешенный на нити, и застревает в нем. Определить высоту h , на которую поднимется шар вместе с пулей.

опред-е">РЕШЕНИЕ

Столкновение пули и шара - неупругое. Согласно закону сохранения импульса для замкнутой системы пуля - шар можно записать:

пример">u - скорость шара и пули.

По закону сохранения механической энергии:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f229.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Контрольные вопросы и задачи

1. Что такое работа силы? Как графически определить работу силы?

2. Дайте определение кинетической энергии тела.

3. В чем заключается теорема об изменении кинетической энергии тела?

4. Что характеризует потенциальная энергия?

5. Как определить конкретный вид потенциальной энергии тела в том или ином силовом поле?

6. Каково изменение потенциальной энергии пружины жесткостью k при ее растяжении на ?

7. Что такое полная механическая энергия?

8. Сформулируйте закон сохранения механической энергии тела.

9. Что такое мощность? От чего она зависит?

10. Как математически записывается закон сохранения импульса?

11. Какие частные случаи выполнения закона сохранения импульса Вы знаете?

12. Какими уравнениями можно описать абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновение двух тел?

Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.

Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.

Мера инертности – масса .

Таким образом можно сделать следующие выводы:

Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.

Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.

Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.

Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями и соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через и приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками . Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением . Мы знаем, что коэффициенты и не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты и являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.

Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.

Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как и соответственно, а после взаимодействия — и . В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде — и . Следовательно, соотношение можно записать так — .

Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —

Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит — .

Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — , где и . Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.

Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.

Необходимое определение:

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.

Формулировка закона сохранения энергии:

В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы , действующие на точку, можно определить так: можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. Помножим обе части на и получим . Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии .

Упругие и неупругие столкновения

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.

Два шара , с и испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса . Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — . Кинетические энергии до и после удара: и . Найдем разность

где – приведенная масса шаров . Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.